哥德巴赫猜想与潘承洞

而下面的文章，则纯粹从学术的角度介绍了哥德巴赫猜想的研究历史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于人们更深入地了解哥德巴赫猜想，当然，我们也把此文献给去世5年的潘承洞先生——他的名字已经镌刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。

数学王子高斯（C. F. Gauss）有一句名言：“数学是科学的女王”；他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所说，数论在数学中一直处于醒目的地位。

18世纪的领袖数学家拉格朗日（J. L. Lagrange）有一个著名的定理，即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和。这个定理是费马（Fermat）早年的猜测，与拉格朗日同时代的大数学家欧拉（L. Euler）曾经给出一个不完整的证明。第一个完整的证明是拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨，在给欧拉的一封信中，他说：“对我来讲，算术是最难的。”这里，算术就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。

俄国数学家辛钦（A. Ya. Shinchin）曾经评论说，哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠。当然，这个王冠上可能还有其它明珠。

哥德巴赫（C. Goldbach）并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，虽然他不能给出证明。

用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。

任何人看了这个猜想之后，都能发现这是一个漂亮的猜想。本人认为，一个好的猜想应该具备以下四个条件。第一，它的表述应该很简单，大凡智力正常的人一听就能明白。我相信，小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫猜想的内容。第二个条件，虽然表述很简单，但是这个猜想的证明断然不能简单。第三点，一旦有了证明，这个证明一定是出人意料的。一个好的猜想的证明一定是有趣的，绝对不能像愚公移山一样，天天重复同样枯燥的工作，重复了上万年，才取得成功。第四点，这个猜想绝对不能是孤立的，任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义。一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看，能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展。具备上面这四点，那就是一个伟大的猜想。我个人认为，哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件。

给定一个猜想，人们可以用各种各样的方法进行研究。譬如，对于哥德巴赫猜想，有人可能用数手指头的方法来研究，这人可能是个小学生。有人想用打算盘的方法来研究，那这人可能是一个小店的会计兼出纳。真正研究这个猜想，则需要很高深的数学工具。还必须指出的是，从这个猜想可以看出数学的特性——数学是在所有科学当中唯一能够处理无穷的学科。我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想。计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数；然而，遗憾的是，奇数和偶数都有无穷多个。所以，这个猜想让迷信实验的人非常沮丧。不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的。’

相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。

关于哥德巴赫猜想的研究，历史上第一个重要文献是哈代（G. H. Hardy）和李特伍德（J. E. Littlewood）1921年的伟大论文，在这篇长达70页的文章里，他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”，虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想，甚至有人宣布证明了猜想。然而，哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼（B. Riemann）猜想——这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来，哈代重振了牛顿（I. Newton）以后的英国分析。

1937年，俄国数学家维诺格拉多夫（I. M. Vinogradov）无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。

维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克（Yu. V. Linnik）的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩（R. C. Vaughan）的。在相当长的一个阶段内，人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时，他还是一个很好的数理统计学家。

很遗憾，偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从各个方向逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径，其中几乎每个途径都有潘老师的工作。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理，以及几乎哥德巴赫问题。

途径一：殆素数

殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N＝A＋B，其中A和B的素因子