伽利略说：大自然这本书是用数学这种语言写成的。科学史也表明，人们在探求关于大自然的知识的过程中，离不开数学。那么数学的本质是什么？数学为什么
《数学与知识的探求》似乎就是为回答那些个问题而写的。不过克莱因在回答问题之前先花了全书13章中的10章篇幅来描述数学如何帮助人们获得关于自然的确定可靠的知识。在克莱因看来，所谓知识就是用数学语言表达出来的自然界的规律。从希腊人的几何天文学模型（第3章），到哥白尼和开普勒的日心学说（第4章），以及伽利略的落体公式（第5章）、牛顿的万有引力定律（第6章）、麦克斯韦的电磁理论偏微分方程组（第7章）、爱因斯坦的时空几何学即相对论（第9章）和把上帝变成一个掷骰子的赌徒的量子力学（第10章）等等，这些不借助数学就几乎无法表达出来的知识，历来都被认为是可靠知识的典范。这些内容显然属于典型的数学－物理学史范畴，但这样的准备是需要的。在前面10章的铺垫之下，克莱因在最后3章才正式处理数学与物理实在的关系，并试图解答“数学为什么奏效”。
数学定律=物理实在？
克莱因先用了一章篇幅（第11章）来论述数学与物理实在的关系。前面几章中用数学表述出来的这些自然规律，是真实的吗？它们与物理实在究竟是什么关系？譬如，开普勒曾得意地宣称行星沿椭圆轨道绕太阳运行，但这是物理真实吗？现在我们知道，只要有别的行星存在，其中一颗行星的轨道就不会是严格意义上的椭圆。第谷的行星观测资料的精度不高不低恰到好处地让开普勒能凑出椭圆轨道来，这似乎是一种巧合。又譬如著名的傅里叶方程，原本描述的物理实在是作为一种流体的热质，结果证明热质是不存在的，傅里叶方程却有非凡的用处。再譬如把以太描述为一种力学模型的麦克斯韦方程组，在以太被抛弃之后，方程组仍旧有效。而到了量子力学中，则根本不存在一个独立于观测者的客观实在了！在这些例子中，“物理学定律关乎的是我们的知识而不是在物理世界中什么是真的”（219页）。
在这里克莱因显然强调了“知识”不等于客观世界中的真的东西，“真实的世界不是我们未经质疑的感官所告诉我们的，也不是我们有限的知觉所能描述的，而是人类的数学理论告诉我们的”（220页）。他还说：“大自然并不规定也不禁止任何数学理论”（221页），“关于物理世界的数学理论不是对我们知觉到的现象的描述，而是一种冒险性的符号建构。数学脱离了感性经验的束缚，不再描述实在，而是建造关于实在的模型，用来解释、计算和预言。”（222页）直觉主义数学家们更进一步坚持“数学完全是人类思想的产物”（226页）。爱因斯坦也在《我的世界观》中说道：“我坚持下面的观点：纯思想能够把握实在，正如古人所梦想的。”（229页）
于是，我们不可避免地看到了柏拉图的幽灵在游荡。柏拉图认为在真实的“超感世界”和作为前者粗糙反映的“可感世界”之间，数学是连接它们的纽带。他的学生亚里斯多德曾在13世纪里取代了他在基督教中的地位，但在16、17世纪不幸被树为反面的典型，而那时柏拉图似乎复活了。哥白尼某种程度上是一个柏拉图主义者，并且不是最后一个。尽管有人会不同意，但我觉得伽利略也是某种程度上的柏拉图主义者，当然他也不是最后一个。牛顿也不是最后一个；爱因斯坦看来同样也不会是最后一个。似乎可以提出这样一个命题：不存在最后一个柏拉图主义者。柏拉图的“觅母”（meme）会顽强地传递下去。
数学为什么会奏效？
在对数学与物理实在的关系作了上述一番讨论之后，克莱因进而开始通过引证历史上各位物理学家、数学家和哲学家们的观点，来论证“数学为什么奏效？”（第12章）但从论证过程来看，也许这个问题应该换成“为什么人们认为数学会奏效？”
影响深远的一派观点源自毕达哥拉斯－柏拉图主义，该派坚持数学是物理世界的根本实在，融合了中世纪的上帝根据数学设计世界这一信条之后，就形成了这样一个研究纲领：“科学的目的就是发现所有现象背后的数学关系，并用这些关系来解释所有现象，从而显示上帝之作品的伟大和荣耀”（232页）。在这个纲领下工作的有哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等等这些16、17世纪的大师们，在他们看来，用上帝的方式来理解上帝的创造物，当然会奏效。
但慢慢地“关注于获得纯数学的结果逐渐代替了对上帝之设计的敬仰”，特别是到了18世纪法国的一群数学物理学家那里，“很明显，自然规律就是数学定律”（236页），在数学和物理学统治的范围内，没什么上帝他老人家的事情了。拿破仑看了拉普拉斯写的《天体力学》之后问拉普拉斯，为什么他在这本论述宇宙体系的大作中没有一次提到宇宙创造者的名字？拉普拉斯回答说：“我不需要这个假设。”到了非欧几何发展起来之后，“表明人类的数学并不是替大自然说话的，更不会导向对于上帝之存在的证明。”（237页）
另一派观点源自康德的主张：我们的心智先天拥有关于空间和时间的固有结构，心智根据这些固有结构的规定来组织这些知觉。“知性不是在从大自然中得出规律而是给大自然规定规律。”（239页）这种给大自然立法的想法有点狂妄，但也有不少支持者。爱丁顿作比方说：“在未知之海岸有一个奇怪的脚印。我们设计了一个接一个深奥的理论来解释其起源。最终我们重建了留下了那个脚印的生物。瞧，这个脚印是我们自己的。”（239页）爱丁顿认为心智所发现的只是从大自然中重获它放进去的东西。彭加勒和爱因斯坦也都在某种程度上持有康德的观点，他们相信数学和大自然的和谐是由人类心智造就的。在这种观念下，数学想要不奏效都不可能。
到19、20世纪，“世界是数学化设计的”这种信念在一些数学家中间有所回潮，只是抽掉了其中的宗教信念。基因斯说：“大自然和我们的有意识的数学心智根据同样的规律来运作。”（242页）赫米特说：“在数学中我们是仆人而不是主人。”（243页）威尔说：“大自然中有一种固有的隐藏的和谐，以简单数学定律的形象反射到我们的心智中。”所以在这些数学家看来，数学也是一门自然科学，它的概念和方法起源于经验，因此它在描述自然规律的时候当然会奏效。
克莱因就这样摘引了各家琳琅满目的格言和主张，但似乎没有给出他自己明确的判断。最后甚至还摘引了几家有点虚无主义的言论。譬如薛定谔说：“人类发现自然规律这本身就是个奇迹，很可能超出了人类的理解力。”戴森也说：“大概我们近期还不能理解物质世界和数学世界的关系。”爱因斯坦的名言他当然也没有放过：“这个世界最不可理解之处就是它的可理解性。”那么数学到底为什么奏效呢？或许也如哥德尔那个不完备定理所说的，这也是一个不可判定的命题？
“蛛网支撑着整个城堡”？
在叫做“数学和大自然的运作”的最后一章中，克莱因简要论述了几家对物理世界的机械决定论、因果性和概率论主张。最后总结本书主旨为：科学发现主要地??在某些领域中是完全地――依赖于数学。大自然是否有秩序、经设计甚至有目的，这是不能断定的。而确凿无疑的是，人类最有效的工具――数学――对于令人困惑的复杂自然现象提供了某种理解和控制。
尽管在这本书的结尾读到了一个自信、肯定的光明尾巴，但还是不禁让我想起前两年读到的克莱因写的另一本书《数学：确定性的丧失》。在那本书里，克莱因对“绝大多数有知识的人今天仍然认为数学是关于物质世界的不可动摇的知识体系，数学推理是准确无误的”这种神话进行了驳斥；并指出，被普遍接受的数学概念在今天已不复存在。那么人们不禁要担心地问：在数学自身的确定性都已经丧失的情况下，数学还能够奏效吗？克莱因的答案似乎是肯定的。
克莱因在他的书中引述过这样一个寓言：在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们以为，正是蛛网支撑着整个城堡。现在这个寓言似乎恰到好处地描述了克莱因的思想，稍稍不同的是，克莱因并不显得慌乱而已。
但不管怎样，纵观《数学与知识的探求》全书，尤其是后面三章，虽然在有些问题的处理上有点让人觉得意犹未尽、心痒难搔，但总起来还是一本很有启发性的数学－物理学史和数学哲学的入门指导书。克莱因作为当代著名的数学史家和数学哲学家，他的思想的深度和宽度还是能给人带来很多启发和教益的。
最后指出一些翻译上的小问题，大多属于没有遵循约定俗成的译法。Eudoxus一般作“欧多克斯”而不是“优道克苏斯”（3页，57页，64页，71页），Conic Sections作“圆锥曲线”而不是“圆锥截面”（45页，235页），Hipparchus译作“喜帕恰斯”或“伊巴谷”而不是“希帕库斯”（45页）或“黑帕库斯”（63页，65页，66页，67页），与晨星对应的一般是“昏星”而不是“暮星”（57页），“周转圆”应该作“本轮”（59页，64－65页），Aristarchus一般作“阿利斯塔克”而不是“阿里斯塔库斯”（60页），Eratosthenes作“埃拉托色尼”而不是“埃拉陶斯塞奈斯”（62页，63页），“从圆”应该译作“均轮”（65页，67页），Almagest一般作“《至大论》”而不是“《大综合论》”（66 70页），Equant一般译作“对点”而不作“等径点”（68 70页），Tycho一般作“第谷”而不是“笛谷”（79－80页），Galileo Galilei作“伽利略・伽利莱”而不是“加利利・伽利略”（88页，92页），“分析几何”应译作“解析几何”（98页），牛顿的老师一般译作“巴罗”而不是“班柔”（117页），Pascal一般作“帕斯卡”而不是“巴斯卡尔”（224页），The Starry Messenger和Sidereal Messenger是伽利略的同一本书的不同英译名字，不应用两个中文译名《星星的信使》（89页）和《恒星使者》（102页），一般取后者。另外，毕达哥拉斯“为逃避暴政而逃到萨摩斯岛”（56页）疑是“逃离”，因毕达哥拉斯本来就出生在萨摩斯岛。“在1629年12月10日写给理查德・本特雷的一封信中，牛顿说：……，”（233页）句中“1629年”有误，因牛顿到旧历1642年才出生。
（《数学与知识的探求》，［美］M・克莱因著，刘志勇译，复旦大学出版社2005年5月第1版，21.00元）
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